1 2 3 4

Reprinted from Technical Analysis of STOCKS & COMMODITIES magazine

Secure fractional Money Management

by Leo J. Zamansky, Ph.D., and David C. Stendahl

Последние четыре года мы занимались разработкой и применением программного обеспечения для оценки торговых систем, использующих методы управления капиталом, и изучали воздействие этих методов на торговые системы. Новая стратегия управления капиталом, названная нами Secure f (безопасная часть, доля) - один из результатов этой работы, и здесь мы продемонстрируем алгоритм вычисления значения доли капитала для инвестирования в каждую сделку, позволяющего максимизировать доход, учитывая ограничение, связанное с Max.DrawDown. Стратегия Secure f может быть, в зависимости от выбранного трейдером уровня приемлемого Max.DrawDown, консервативной или агрессивной. Это модификация стратегии Optimal f (оптимальная доля), которая была популяризирована Ральфом Винсом (Ralph Vince) в его книге "Формулы управления портфелем" (Portfolio Management Formulas). Secure f отличается от Optimal f тем, что принимает во внимание исторические DrawDown'ы.

Optimal f

Optimal f - стратегия управления капиталом, которая может использоваться для улучшения и максимизации производительности системы путём нахождения наилучшего процента капитала для инвестирования в каждой сделке. Эта стратегия определяет, какой процент капитала, инвестированного в сделку, приносил бы наивысший доход, основываясь на последовательности прошлых сделок. Поскольку трейдеры могут применять целый ряд стратегий управления капиталом, может быть полезным знать, какой объем инвестиций был бы оптимальным в каждом случае.

Концепция стратегии процентной или дробной части происходит из формулы Kelly, которая оценивает процент вашего капитала, предназначенного для торговли, в том случае, когда суммы выигрышей и проигрышей не равны:

f = ((b+1)p - 1))/b

b - Отношение размера прибыли при прибыльной сделке( Average win) к размеру убытка при убыточной сделке. (Average loss)

p – Вероятность прибыльной сделки.

Простой пример : у вас было три сделки - две прибыльных и одна убыточная (1, 1, 0) - и Вы выигрывали или теряли в каждой сделке равные суммы:

f = ((1+1)0.666-1)/1 = 0.33333

Vince вводит понятие Optimal f и чтобы находить величину оптимального f нам нужно максимизировать то, что Vince назвал "временное относительное богатство" (TWR). Данная задача может быть сформулирована следующим образом:

TWR(f) -> max, где TWR(f) = (HPR1(f))((HPR2(f))(...(HPRn(f))

HPRi(f)=1+ (f(( - исход сделки i) / (наибольший убыток в серии сделок))

HPR = Holding period return (доход за период владения активом).

РИСУНОК 1: Использование стратегии управления капиталом Optimal f с целью достижения максимального значения TWR

Рисунок 1 иллюстрирует проблему оптимизации, решаемую Optimal f. Как мы можем видеть из описания Optimal f и рисунка 1, Optimal f максимизирует конечный капитал, инвестируя "правильную" сумму в каждой сделке. Эта сумма – f – процент существующего на начальный момент торговли капитала. Чтобы найти величину Optimal f, нужно произвести вычисления на истории сделок. Торговая история должна быть прибыльной (положительное матожидание системы), в противном случае ни Optimal f, ни любая другая стратегия не сделают убыточную систему прибыльной. Чем дольше используется Optimal f, тем большее увеличение конечного капитала может быть получено.

Как пример, представьте себе следующую игру. Эта игра может рассматриваться как упрощённый вариант торговли фьючерсами. Вы подбрасываете монету в три серии, по 11 бросков в каждой. Вы отдаёте проигранную сумму или получаете выигранную сумму только по окончании каждой серии бросков. Для того, чтобы начать игру, Вам нужно покупать один или более контрактов. Цена одного контракта, скажем, $10 000. Бросок монеты эквивалентен движению цены контракта величиной в один пункт. Стоимость одного пункта, скажем, $500. Если Вы купили один контракт за $10 000 и выиграли восемь раз, а проиграли три, Вы заработали $2 500. Если же Вы купили два контракта за $20 000 и выиграли семь раз, а проиграли четыре, Вы заработали $3 000.

В сыгранной Вами игре на каждый приобретенный контракт Вы выиграли шесть раз из 11 в первой и второй сериях и проиграли шесть раз в третьей. Это дает Вам результаты 1, 1, нуль - Вы дважды выиграли и один раз проиграли. Следующие цифры являются результатами бросков в каждой серии Вашей игры:

Серия 1={1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1}

Серия 2={0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1}

Серия 3={1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0}

Теперь, представим, что Вы имеете $100 000(J). Давайте найдем Optimal f, основываясь на результатах 1, 1 и нуль. Результаты Ваших трэйдов : $500, $500 и -$500.

HPR1=(1+ f(500/500))

HPR2=(1+ f(500/500))

HPR3=(1- f(500/500))

Это дает нам следующее выражение для вычисления TWR:

TWR = (1+f)(1+f)(1-f) = 1+ f - f² - f³.

Данная функция достигает максимума при f = 1/3. Это означает, что стратегия Optimal f предлагает Вам инвестировать в каждую сделку треть ваших денег, которая для первой сделки составит $33 333 ($10 000 / 3).

РИСУНОК 2: Использование стратегии управления капиталом Optimal f с целью достижения максимального значения TWR

Теперь вычислим Ваш максимальный убыток в течение игры при использовании доли капитала, соответствующей Optimal f, т.е. одной трети. Сумма в $33 333 позволяет Вам купить три контракта по $10 000, и в первой серии Вы, выиграв, скажем, $500 на контракт, получите в итоге прибыль $1 500. Ваш общий капитал после первой серии будет равен $101 500. Теперь треть вашего капитала составляет сумму в $33 833.

Таким образом, несмотря на увеличение капитала в результате первой серии бросков, $33 833 позволяют Вам покупать всё ещё только три контракта.

Из-за того, что Вы теряете $500 на каждом "нуле" в серии, в течение второй серии Вы будете терять $2,500 на контракт после первых пяти бросков. Это означает, что к этому моменту Вы имеете убыток $7,500 в этой серии или 7.39% капитала, имевшегося у Вас на начало второй серии (7500 / 101500 = 0.0739), а общий убыток по отношению к начальному капиталу составит $6,000 или 6%. Это и есть максимальный торговый DrawDown (Max.DrawDown).

Как можно видеть из наших вычислений, Optimal f имеет определённые недостатки. Прежде всего, стратегия ведет к быстрому увеличению количества торгуемых контрактов. Как правило, это является причиной недопустимо больших DrawDown'ов.

Второе ограничение стратегии Optimal f состоит в том, что она может быть психологически неприемлема для "среднего" трейдера, озабоченного проблемой контроля над риском.

Реализация данной стратегии может также натолкнуться на непреодолимые препятствия в виде недостаточной ликвидности или невозможности торговой системы оставаться все еще жизнеспособной при данном геометрическом увеличении количества торгуемых контрактов.

Наконец, стратегия Optimal f не принимает во внимание последовательность, в которой происходят сделки ; она не рассматривает DrawDown'ы.

Эти недостатки ведут к очень ограниченному использованию стратегии Optimal f в трейдерской среде. А теперь позвольте Вас спросить: сколько бы Вы инвестировали в вышеупомянутую игру, если бы размер вашего максимального убытка был ограничен? Это ограничение могло бы быть абсолютным (в долларах) или относительным (в процентах от капитала). Если ваш предел выше $7,500 – скажем, $10,000 – тогда ничего не меняется и Optimal f является подходящим решением для определения доли капитала, инвестируемого в сделку. Однако, если ваш предел максимального убытка в течение игры был, скажем, $5,000, тогда Вы могли покупать только два контракта вместо трёх. То же самое справедливо и для случая, когда Ваш предел максимального убытка был бы равен 5%. Это означает, что оптимальный для Вас процент капитала для инвестирования в этой игре составил бы 20%. Этот процент, долю мы назвали Secure (безопасная) f. Каждый трейдер использует некоторую величину Secure f, поскольку каждый трейдер имеет некоторую чувствительность к DrawDown'ам.

Secure f

Чтобы сформулировать задачу, решаемую Secure f, мы добавляем ограничение в расчёт Optimal f. Ограничение может отражать приемлемый Max.DrawDown (и/или другие характеристики). Это более консервативная стратегия, которая имеет преимущество перед Optimal f, поскольку ориентируется не только на максимизацию дохода, но и учитывает установленные трейдером ограничения величины торговых убытков.

Позвольте нам повторно сформулировать задачу нахождения Optimal f, добавляя ограничение на величину DrawDown:

TWR(f) —> max

в зависимости от размера Max.DrawDown(f) - меньше или равного приемлемому Max.DrawDown, установленному трейдером.

Решением, которое максимизирует TWR(f), является Secure f. Формулировка задачи, которая включает ограничение на DrawDown, показана на Рисунке 3.

РИСУНОК 3: Формулировка задачи максимизации TWR с добавлением ограничения на Max.DrawDown.

Такая формулировка задачи позволяет максимизировать TWR и гарантирует, что DrawDown при тестировании системы на прошлых данных не превысит размер, определенный трейдером — величину D. Эта величина определяет уровень приемлемого, допустимого Max.DrawDown. (Это может быть ограничение убытков в одной сделке или за весь торговый период или какие-либо другие меры риска. Могут использоваться ограничения, включающие меру волатильности. Любые ограничения могут быть включены путём добавления к уже существующим, также, как показано на Рисунке 2). Обратите внимание, что Рисунок 2 имеет цены как дополнительный вклад, необходимый для вычисления Secure f.

Если размер приемлемого для трейдера Max.DrawDown меньше, чем величина Max.DrawDown в течение рассматриваемого периода, величина Secure f будет меньше,чем величина Optimal f и стратегия Secure f выдаст более консервативный доход, удовлетворяющий ограничению на DrawDown. Кривая капитала для Secure f будет также менее волатильна. Если размер приемлемого Max.DrawDown равен или больше, чем Max.DrawDown в течение рассматриваемого периода, величина Secure f будет равна величине Optimal f и стратегия Secure f даст те же результаты, что и стратегия Optimal f.

РИСУНОК 4: Здесь показаны TWR и Max.DrawDown, соответствующие определённым значениям f. При увеличении значения f, Max.DrawDown также растёт. Optimal f достигает максимума в значении 33.3 %. С устанавкой ограничения на Max.DrawDown в $ 5,000, Secure f достигает максимума только в значении 21 % капитала.

Рисунок 4 показывает график TWR и Max.DrawDown против величины f, и таблица 1 - сравнительнуютаблицу для Optimal f и Secure f.

ТАБЛИЦА 1: С ростом значения f в процентах от капитала увеличивается количество торгуемых контрактов, но временное относительное богатство (TWR) достигает максимума в 118.52 при f, равном 33 %.

ALGORITHM

Пусть f_s будет величиной Secure f, D - приемлемый Max.DrawDown, TWR (f, D) - значение временного относительного богатства для данных величин f и D; delta - желаемая точность вычисления Secure f. Ниже дана упрощенная форма алгоритма для вычисления Secure f.

Шаг 1 Вычисляем Optimal f

Шаг 2 Устанавливаем f = Optimal f

Если приемлемый для трейдера Max.DrawDown - больше или равен историческому Max.DrawDown, тогда вычисления закончены и f = f_s (т.е. значение Secure f будет соответствовать величине Optimal f) ; в противном случае, переходим к шагу 3.

Шаг 3 f = f - delta

Если f > 0, тогда

• Вычисляем MDD (f) - Max.DrawDown - для доли капитала f, инвестируемой в каждую сделку. Если MDD (f) < D, тогда вычисляем TWR (f, D) и сохраняем значения f и TWR (f, D).

• Возвращаемся к началу шага 3.

Если f < или = 0, тогда

• Находим значение f, соответствующее максимальному из всех сохраненных на предыдущих этапах TWR (f, D). Это значение и есть искомое f_s (Secure f).

• Вычисления закончены.

Та же самая логика применяется для вычисления Secure f при использовании в качестве ограничения любого другого показателя, отличного от Max.DrawDown.

APPLICATION AND COMPARISON

Для сравнения рассмотрим простую "пробойную" систему, торгующую немецкой маркой и открывающую только "длинные" позиции. Система покупает на пробое 20-дневного ценового максимума (Swing High) и выходит из позиции на пробое 10-дневного ценового минимума (Swing Low). Код TradeStation для этой пробойной системы :

Breakout system

Input: BLen(20), XLen(10);

IF CurrentBar > 1 and Close < Lowest(Low,XLen)[1] Then ExitLong;

Таблица сравнения стратегий показывает основные различия между cтратегиями. Как видим, обе cтратегии – и Optimal f и Secure f - увеличили чистую прибыль. Однако, сравнение показателей отношения величины чистой прибыли к размеру Max.DrawDown ясно указывает драматические различия между этими двумя cтратегиями. Хотя стратегия Optimal f сгенерировала намного большую чистую прибыль, отношение net profit/Max. DrawDown для Secure f более, чем в семь раз превышает то же самое отношение для Optimal f.

ТАБЛИЦА 2: В течение 12-летнего периода теста (1985-97) при использовании стратегии Optimal f максимальное количество торгуемых в одном трэйде контрактов составило бы 75. С другой стороны, применение стратегии Secure f привело бы к торговле максимум четырьмя контрактами за один трэйд.

Рисунки 5 и 6 иллюстрируют т.н. "подводные" (underwater) кривые капитала, соответствующие Optimal f и Secure f (в предыдущих частях этого раздела графики такого типа, отражающие величину DrawDown и Max.DrawDown, я называл просто гистограммами :-)) . Эти данные показывают большую разницу в величине спада активов для Optimal f и Secure f.

РИСУНОК 5: эта диаграмма показывает в месячном масштабе DrawDown в процентах от предшествующего максимума, достигнутого кривой доходности системы, использующей стратегию Optimal f.

РИСУНОК 6: эта диаграмма показывает в месячном масштабе DrawDown в процентах от предшествующего максимума, достигнутого кривой доходности системы, использующей стратегию Optimal f.

Наконец, рисунки 7 и 8 изображают кривые доходности традиционным способом – в виде линий для Optimal f и Secure f, соответственно.

РИСУНОК 7: кривая доходности системы, использующей Optimal f. Прирост капитала происходит рывками, очень нестабильно, максимум достигнут в 1988 году.

РИСУНОК 8: кривая доходности системы, использующей Secure f. Обратите внимание на устойчивое повышение кривой доходности.

ВЫВОДЫ

Стратегия управления капиталом Secure f предлагает трейдерам возможность максимизировать доход, соответствующий уровню риска, который они желают принимать. Стратегия Secure f может быть консервативной или агрессивной, в зависимости от выбранного трейдером уровня приемлемого Max.DrawDown. Этот уровень может быть установлен каждым трейдером индивидуально, чтобы соответствовать инвестиционным предпочтениям трейдера и его отношению к риску. Стратегия Secure f может применяться и к механической и к немеханической торговле и увеличивать доходность на любом рынке (:-)).

Leo Zamansky, Ph.D. - президент RINA Systems в Cincinnati, OH. Компания специализируется на разработке программного обеспечения для профессиональных трейдеров. David Stendahl является вице-президентом по предоставлению финансовых услуг RINA Systems и профессиональным трейдером.

RINA Systems является разработчиком следующего программного обеспечения для оценки и совершенствования систем торговли: Money Manager, Performance Summary Plus, Portfolio Evaluator, 3D SmartView, Portfolio Maximizer и Dynamic Zones.

 1 2 3 4