2 3 

В предыдущих главах я неоднократно упоминал термин "портфель ценных бумаг", не давая ему формального определения. Впрочем, смысл этого понятия вполне ясен - это просто набор финансовых активов (акций, облигаций и т.д.). Для описания конкретного портфеля необходимо указать его состав, т.е. виды активов, входящих в портфель, и их относительные веса. С точки зрения инвестора каждый портфель характеризуется определёнными доходностью и риском (волатильностью). Впервые математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг была предложена Гарри Марковицем (Harry Markowitz) в 1952 году в статье под названием "Выбор портфеля" ("Portfolio Selection"). Основной заслугой работы Марковица явилась теоретико-вероятностная формализация понятий доходности и риска, что позволило перевести задачу выбора оптимальной инвестиционной стратегии на математический язык. С вычислительной точки зрения данная задача относится к классу задач квадратичной оптимизации при линейных ограничениях (в случае наличия таковых). Суть модели Марковица заключалась в том, чтобы инвестор при принятии инвестиционного решения в процессе формирования оптимального портфеля ценных бумаг учитывал не только доходность, как отдельных активов, так и образуемого ими портфеля, но также и риск, получивший количественую оценку. Существенным моментом также являлся учёт взаимных корреляционных связей между составляющими портфель активами. В середине шестидесятых годов Уильямом Шарпом (William Sharpe) была предложена так называемая "рыночная модель" рынка капиталов (являющаяся однофакторной моделью, где в качестве фактора выступает рыночный индекс), в которой впервые появились пресловутые "альфа" и "бета" коэффициенты. На основе данной модели Шарп предложил упрощённый метод выбора оптимального портфеля, сводивший задачу квадратичной оптимизации к линейной. В дальнейшем этот подход развился в модель оценки капитальных активов CAPM (Capital Asset Price Model), являющуюся, по сути, макроэкономическим обобщением теории Марковица. Согласно этой модели при выборе оптимального портфеля инвестор должен учитывать не весь риск, связанный с активом, а только его часть, называемую систематическим (рыночным) или недиверсифицируемым риском, представляющую собой общий риск рынка в целом, количественно выражаемый "бета" коэффициентом, введённым Шарпом в его однофакторной модели. Остальная часть риска – несистематический (собственный) или диверсифицируемый риск – управляется (устранятся) выбором соответствующего оптимального портфеля. Для лучшего понимания техники формирования портфеля ценных бумаг рассмотрим оба подхода на примере формирования оптимального портфеля из инструментов отечественного фондового рынка.

Подход Марковица для определения оптимального портфеля можно разбить на несколько этапов :

Этап первый. Очертить "рынок" - т.е. список тех бумаг, из которых будет формироваться множество всех допустимых портфелей. Для отбора таких бумаг обычно используются такие критерии как ликвидность и отраслевая принадлежность . В данном примере, носящем демонстрационный характер, я не буду задавать численные критерии ликвидности, ограничившись субъективной оценкой , но, при необходимости, можно использовать для измерения ликвидности объём и количество сделок (для таких высоколиквидных бумагкак обыкновенные акции РАО ЕЭС для измерения ликвидности достаточно информации об объёме совершённых сделок, но для менее ликвидных бумаг бывает необходима информация о количестве сделок, т.к. крупный объём может быть достигнут за счёт нескольких, иногда договорных, сделок), величина спрэда между ценами покупки и продажи и отношение величины спрэда при спокойном рынке к величине спрэда при сильных рыночных движениях (дело в том, что многие среднеликвидные бумаги, удовлетворяющие заданным критериям ликвидности в "спокойных" рыночных условиях, становятся практически неликвидными в случае резко возросшей рыночной волатильности).

В нашем примере для формирования оптимального портфеля мы будем использовать "голубые фишки" (blue chips), торгуемые на ММВБ и обладающие приемлемой ликвидностью, с учётом их отраслевой принадлежности. Таким образом, наш "рынок" составят :

*Несколько комментариев к вышеприведённому списку : во-первых, все акции обыкновенные (т.е. не привилегированные) ; во-вторых, несмотря на то, что акции Газпрома не торгуются на ММВБ, он включён в наш список, т.к. по своему значению в экономике страны и потенциальной капитализации он "голубее" всех "голубых фишек", да простят меня менеджеры Газпрома за невольный каламбур J .

Этап второй. Установить, если необходимо, ограничения по структуре портфеля. Данные ограничения могут устанавливать максимальный и/или минимальный объём средств, инвестируемых в каждую конкретную бумагу или отрасль промышленности.

Для наглядности рассмотрим как вариант ограничения минимального размера капитала, инвестируемого в отдельную бумагу и равного 10 %, так и вариант, не предусматривающий никаких ограничений по структуре портфеля (т.е. можно инвестировать весь капитал даже в одну акцию).

Этап третий. Определить доходность и волатильность (риск) для каждой отобранной бумаги. Доходность и волатильность тесно связаны с понятием "инвестиционного горизонта". Это означает, что эти показатели рассчитываются или задаются на определённый инвестиционный период, который в моделиМарковица считается заданным. Также надо отметить, что говоря о доходности и волатильности имеются в виду прогнозные, вероятностные значения этих показателей. Собственно суть подхода Марковица и состоит в том, что он предложил рассматривать доходности активов как случайные величины. Обычно для этих целей используются матожидание и дисперсия (стандартное отклонение). Конкретное значение доходности, полученное инвестором в конце инвестиционного периода, есть реализованное значение доходности как случайной величины. Хотя обычно для определения прогнозных значений доходности и волатильности используются различные методы аппроксимации рядов исторических данных, можно использовать любые другие методы (например, экспертные оценки). Вообще говоря, эта тема заслуживает отдельного более глубокого рассмотрения, т.к. доходность и риск являются своего рода фундаментом для всех дальнейших расчётов, используемых при нахождении оптимального портфеля. Важно понимать, что методы формирования оптимального портфеля ценных бумаг всего лишь позволяют наилучшим образом распределить (диверсифицировать) инвестиционный капитал между финансовыми инструментами с прогнозируемыми показателями доходности и риска, в то время как реальный финансовый результат конкретного управляющего портфелем зависит, в первую очередь, от степени соответствия прогноза действительному изменению цен активов.

В нашем примере для определения доходности и риска каждой бумаги будут использоваться арифметические средние месячных относительных изменений цен закрытия за 2000 год.

финансовый актив EESR LKOH MSNG SNGZ RTKM SBER GAZP NKEL
AvgYield(%) 4.39 1.19 2.33 1.06 -1.51 -0.73 2.33 5.98
Risk(%) 25.57 18.48 23.03 17.86 23.93 18.04 16.11 21.92

Ещё раз подчеркну, что данный пример призван продемонстрировать, в первую очередь, технику формирования оптимального портфеля, тогда как в реальной торговле для прогнозирования будущих доходности и волатильности конкретного актива желательно использовать более гибкие и точные способы аппроксимации рядов исторических данных, соответствующие к тому же торговой стратегии и темпераменту индивидуального инвестора. Если инвестор, к примеру, опирается в своей торговле на методы следования тренду, то в случае значительного и длительного роста какого-либо актива инвестор может предположить, что в рамках его "инвестиционного горизонта" тренд продолжится и прогнозируемая доходность будет приблизительно соответствовать текущей средней доходности. В то же время, если инвестор является приверженцем контртрендового метода торговли, он может предположить, что актив достиг своего ценового максимума и в дальнейшем, по крайней мере в пределах "инвестиционного горизонта" данного инвестора, будет снижаться и, соответственно, прогнозируемая доходность не только не будет соответствовать текущей, но и вообще станет отрицательной, что сделает целесообразным открытие по данному активу "коротких" позиций (short sale) с целью получения дополнительного дохода либо хеджирования общего риска портфеля. В обоих случаях при вычислении доходности и риска для определения периода усреднения желательно использовать адаптивные методики, опирающиеся на среднюю продолжительность тренда, цикличность движения цен между глобальными уровнями поддержки-сопротивления, протяжённость "инвестиционного горизонта" и т.п..

Этап четвёртый.Вычислить доходность и риск для каждого портфеля. Как уже было сказано выше, портфель ценных бумаг это просто набор активов (акций, облигаций и т.д.), обладающих определёнными доходностью и риском (волатильностью). Доходность портфеля определяется как взвешенная сумма доходностей всех типов активов, входящих в портфель, и находится по формуле :

E(Rportf ) = å (Wi*E(Ri)) ;

E(Rportf ) = W1*E(R1) + W2*E(R2) + W3*E(R3)+… …+ Wn*E(Rn) ;

E(Rportf ) - ожидаемый доход портфеля;

E(Ri ) - ожидаемый доход отдельного актива в портфеле ;

Wi - относительный вес отдельного актива в портфеле.

Риск одного актива измеряется дисперсией или среднеквадратическим отклонением (СКО) доходности этого актива (подробнее см. раздел "Риск-менеджмент"), а риск портфеля измеряется дисперсией или среднеквадратическим отклонением доходности портфеля. Однако, чтобы измерить риск портфеля, нам нужно знать не только вариацию (разброс) доходностей отдельных ценных бумаг, но и степень, с которой доходы пар ценных бумаг колеблются вместе. Нам нужно знать ковариацию или корреляцию доходов каждой пары активов в портфеле (т.н. попарную ковариацию или корреляцию).

Как известно, дисперсия случайной переменной показывает, как значения этой переменной распределены вокруг среднего значения. Ковариация же показывает, как две случайные переменные ведут себя по отношению одна к другой, т.е. является показателем степени связи между двумя переменными. Если цена актива Х обычно растёт (падает) в то же время, когда растёт (падает) цена актива У, ковариация будет положительной и, соответственно, наоборот. Если же не существует определённой модели связи между поведением двух активов, т.е. цены двух активов ведут себя независимо, ковариация равна нулю. Формуладля вычисления ковариации напоминает в некоторой степени формулу дисперсии и выглядит следующим образом :

CovXY = å [(X-Xavg)(Y-Yavg)]/(n-1)

CovXY - ковариация переменных (активов Х и У);

Xavg, Yavg - средние значения переменных (доходностей активов) ;

n - количество наблюдений (период усреднения).

Часто ковариации нескольких переменных изображаются в виде дисперсионно-ковариационной матрицы. Для нашего примера дисперсионно-ковариационная матрица будет иметь следующий вид :

Variation EESR LKOH MSNG SNGZ RTKM SBER GAZP NKEL
EESR 603.31 346.52 524.21 295.71 499.80 333.50 68.29 492.26
LKOH 346.52 315.23 281.90 241.43 315.82 163.44 3.17 262.51
MSNG 524.21 281.90 489.43 267.91 429.89 260.42 40.35 439.63
SNGZ 295.71 241.43 267.91 294.36 239.27 162.63 30.16 231.13
RTKM 499.80 315.82 429.89 239.27 528.73 281.63 146.38 402.62
SBER 333.50 163.44 260.42 162.63 281.63 300.38 96.08 253.47
GAZP 68.29 3.17 40.35 30.16 146.38 96.08 239.70 52.06
NKEL 492.26 262.51 439.63 231.13 402.62 253.47 52.06 443.66

Обратите внимание на то, что ковариации, расположенные по диагонали, выделены жирным шрифтом. Это ковариации доходностей активов с ними самими. Ковариация переменной с ней самой равна дисперсии этой переменной. Поэтому матрицу ковариаций называют дисперсионно-ковариационной матрицей.

Таким образом, риск портфеля, измеряемый через дисперсию, рассчитывается как взвешенная сумма ковариаций всех пар активов в портфеле, где каждая ковариация взвешена на произведение весов каждой пары соответствующих активов и дисперсия данного актива рассматривается как ковариация актива с самим собой. К примеру, формула для вычисления риска портфеля, состоящего из трёх активов X, Y и Z выглядит следующим образом :

s 2portfolio = WXWXCovXX + WXWYCovXY + WXWZCovXZ + WYWYCovYY + WYWXCovYX + WYWZCovYZ + WZWZCovZZ + WZWXCovZX + WZWYCovZY , где :

s 2portfolio - дисперсия портфеля ;

WX, WY, WZ - относительные веса активов X, Y и Z ;

CovXY - ковариация активов Х и У.

Можно заметить, что каждая взвешенная ковариация на самом деле включена в расчёт дважды, например, WXWYCovXY — это то же самое , что и WYWXCovYX . Вспоминая также, что CovXX в действительности является дисперсией Х, получим общую формулу для вычисления риска портфеля :

s 2portfolio = å W2is 2i + 2å WiWjCovij , где :

s 2i - дисперсия i -го актива.

Ясно, что преимущества диверсификации происходят от включения в портфель активов, имеющих низкие или даже отрицательные ковариации с другими активами портфеля, что снижает сумму ковариаций и, следовательно, общий риск портфеля.

Так как ковариация — показатель связи, неограниченный по величине, то часто в качестве показателя связи используют коффициент корреляции. Преимущество ранжирования пар активов по их коэффициентам корреляции заключается в предоставлении чёткой системы включения в портфель активов, увеличивающих преимущества диверсификации. Напомню, что коэффициент корреляции рассчитывается как :

pXY = CovXY /( sX * sY ), где :

pXY - коэффициент корреляции активов Х и У;

s X ,s Y - средние квадратические отклонения доходностей активов Х и У.

Следовательно, ковариацию можно выразить как :

CovXY = pXY * sX * s Y .

Отсюда дисперсию (риск) портфеля с использованием коэффициентов корреляции можно найти следующим образом :

s 2portfolio = å W2is 2i + 2å WiWj ( pij si s j ).

Как правило, в учебной и методической литературе для описания процедуры вычисления риска портфеля по Марковицу используется именно эта формула, как интуитивно более понятная.

Наконец, для того, чтобы найти СКО портфеля, нужно просто извлечь квадратный корень из дисперсии портфеля J .

Этап пятый.Определить множество всех допустимых портфелей. Итак, нам известны показатели ожидаемых доходности и риска каждого актива, и мы знаем, как вычислить доходность и риск для любого портфеля, состоящего из выбранных нами активов. Множество всех возможных портфелей (т.е. комбинаций весов и активов), удовлетворяющих заданным инвестором начальным условиям и ограничениям, называется достижимым или допустимым множеством, а портфели, составляющие это множество, называются допустимыми портфелями.

*Для вычисления доходности и риска допустимых портфелей я использовал небольшую программу, написанную мной на VBA (Visual Basic for Applications), в которую нужно ввести, кроме всего прочего, ограничение на минимальный размер доли каждой бумаги в портфеле и квант изменения долей. С кодом программы можно ознакомиться в разделе "Торговые системы".

Для нашего примера я использовал следующие параметры ввода : минимальный размер доли каждой бумаги в портфеле - 0 ; квант изменения долей - 0.1 (т.е. 10%). На рисунке ниже представлено множество допустимых портфелей для набора из восьми бумаг.

Множество достижимых портфелей для тех же восьми бумаг, но с параметрами ввода : минимальный размер доли каждой бумаги в портфеле - 0.1 (т.е. 10%) ; квант изменения долей - 0.05 (т.е. 5%), изображено на рисунке ниже.


 2 3